Dans le triangle ABI, on a : b = angle AIB
et AI = r
donc 
De même dans le triangle OBA, on a : 
avec a = angleAOB
Ainsi : 
et 
.
Preuve :
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Dans le triangle ABI, on a : b = angle AIB et AI = r donc De même dans le triangle OBA, on a : avec a = angleAOB Ainsi :
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On sait que dans un cercle de rayon R la longueur L de l'arc de mesure a est R a
Etudions le signe de L - l :
L - l = b r - a
R est du même signe que 
et donc du même signe que 
Or 
d'où
car
la fonction "sin" est une fonction croissante sur 
On pose a =
et f(x) = sin (ax) – a sin x
Etudions les variations de la fonction f sur
f’(x) = a cos (ax) – a cos x
f’(x) = a (cos (ax) – cos x)
On a 0 £ ax
£ x £ 
donc l'expression( cos (ax) – cos(x)) est positive car la fonction "cos"
est décroissante sur
f'(x) étant positif sur l'intervalle
f est croissante sur
De plus, f(0) = 0, donc f(x) est toujours positive sur
Donc L – l ne peut être nul que si a et b sont nuls, L - l est strictement positif
Conclusion :
L’arc AB du cercle C1 est plus court que l’arc AB du cercle C2
Cela justifie qu'on appelle distance AB entre 2 points de la sphère la longueur de l'arc de géodésique passant par ces points.