Soit la suite des (c_n) définie par :

c_n+1 est le barycentre de (c_n, f(b)) et (b,f(c_n)) donc d'après la formule :

c_n+1=(c_n|f(b)|+b |f(c_n)|) / (|f(b)|+|f(c_n)|)  

     = G(c_n). 

D'après le théorème 1 la suite des (c_n ) est bornée, de plus (c_n ) est une suite croissante, car on prend le barycentre de 2 points affectés de coefficients de mêmes signes, donc (c_n ) est une suite convergente.

soit L la limite de la suite (c_n).

donc  L=G(L) d'après le théorème du point fixe.

Donc L=(L |f(b)|+b |f(L)|)/(|f(b)|+|f(L)|)

donc L(|f(L)|+|f(b)|)=L |f(b)|+b |f(L)|

donc L |f(L) |- b |f(L) |=0

donc |f(L)| (L-b)=0

or b différent de L

donc f(L) =0 et L est le zéro de f

donc la suite (c_n ) converge vers le zéro de f.

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