Soit f une fonction. Supposons que f '' < 0 sur [a,b].

f(x)=0 ne possède qu'une solution sur l'intervalle [a,b].

 Soit (T) la droite passant par (a,f(a)) et (b,f(b)):

T : y=mx+p

      m=f(b)-f(a)

            b-a

soit T: y= f(b)-fa) x+p

                   b-a

            f(a)= f(b)-f(a) *a+p

                        b-a

donc p=f(a)- f(b)-f(a) *a

                       b-a

étudions le signe de f(x) -T  :

f(x)-T= f(x)- f(b)-f(a) x-f(a)+ f(b)-f(a) *a

                        b-a                    b-a

Posons g(x)=f(x)-T

            g'(x)=f '(x)- f(b)-fa)

                                   b-a

            g''(x)=f ''(x)

Raisonnons par l'absurde:

…        Si g'(x)>0 sur tout [a,b],  alors g est décroissante et donc g(x) est une constante, puisque g(a)=g(b)=0

…        Si g'(x)<0, on a de même g(x) constante

Donc g'(x) coupe l'axe des abscisses en un point a

Donc g(x) toujours positive et

donc T est en dessous de f(x).

On pourra faire de même si f''(x) est positive sur [a,b].

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