Regardons ensemble les nombres

1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7...

Leur écriture décimale respective est

0.5,0.3333...,0.25,0.2,0.16666...,0.142857142857... .

Nous remarquons deux choses. Soit l'écriture décimale est finie comme pour 1/2,1/4,1/5, soit il semble qu'à partir d'un certain stade, il y a un groupe de chiffres qui se répète indéfiniment. Nous appellerons période un tel groupe de chiffres (minimum en taille). Par exemple, pour 1/3, c'est 3 ; pour 1/9, c'est 1 ; pour 1/7, c'est 142857 ! On appellera longueur de n le nombre de chiffres que contient la période. Quand l'écriture de 1/n est finie, on dira que la longueur de n est 0. Voici le tableau des périodes des 19 premiers entiers strictement positifs :

Problème.

Existe-t-il des nombres de période 1999 ? Plus généralement étant donné un nombre N, peut-on trouver un nombre dont la période est N ?

Peut-on caractériser (trouver des propriétés sur) les nombres de période 0 ? 1 ? 2 ? ...

Les nombres 7,17,19 ont des périodes de 6,16,18. Existe-t-il d'autres nombres N dont la période est N-1 ? En existe-t-il une infinité ? Comment les trouver ?

A quoi cela sert ?

Ces problèmes de la théorie des nombres n'ont pas en premier lieu d'application dans la vie courante. Pourtant, depuis quelques années des questions similaires, qui paraissaient purement théoriques, se sont révélées très importantes pour faire de la cryptographie (science des codes secrets). Au-delà d'une application directe à la vie de tous les jours, les mathématiciens cherchent à ordonner et classer les objets qu'ils manipulent afin de mieux les comprendre. C'est dans ce sens que va notre problématique.