Division euclidienne et fractions

LaboraToile, Document 01-09

Il suffit de répondre à cette question pours les fractions de la forme A/B où A et B sont des nombres entiers positifs, ce que nous supposerons dans la suite.

L'écriture décimale d'une fraction A/B s'obtient en effectuant la division de A par B, dans le système décimal.

Comme on peut s'en rendre compte en effectuant soi-même une telle division, la division "décimale" consiste à répéter des divisions "entières", c'est à dire sans virgule, tant qu'un reste nul n'est pas obtenu. Le principe même du calcul remonte à Euclide.

Le principe de la division "euclidienne".

Le principe de la division euclidienne (entière) d'un nombre entier positif A (appelé le dividende) par un autre nombre entier positif B (appelé le diviseur) consiste à soustraire le plus de fois possible le nombre B (le diviseur) du nombre A (le dividende).

• Le nombre de fois convenable est appelé le quotient entier de A par B.
• Le résultat obtenu est appelé le reste de la division de A par B.

Appelons Q le quotient entier de A par B : ce qui précède revient à dire que Q est défini par les deux conditions :

(a) Q fois B ne dépasse pas A, ce qui s'écrit :          Q x BA   ou, plus simplement,  

(a)     BQA

(b) (Q +1) fois B dépasse pas A, ce qui s'écrit :      A < (Q+1) x B , ou :

(b)     A < B (Q+1)

Appelons R le reste de la division de A par B. D'après sa définition, R vaut A- Q x B et donc, vu les inégalités (a) et (b), on a :

(1)	A = BQ + R   avec   0R < B

Cette formule résume le principe de la division euclidienne (entière).

La division dans le système décimal

La division euclidienne décimale d'un nombre entier A par un nombre entier positif B, apprise à l'école primaire, est une technique de calcul qui fournit, l'écriture décimale du quotient exact de A par B, c'est à dire du nombre rationnel correspondant à la fraction A/B (on parlera aussi, plus simplement, d' écriture décimale de la fraction A/B : le résultat du calcul, qui ne se termine pas toujours, est un "nombre à virgule".

Examinons de plus près comment s'effectue une telle division.

• A gauche de la barre verticale de la division et sous les chiffres précédemment écrits, s'écrit à chaque étape le reste d'une division euclidienne entière.
• Chacun de ces restes est allongé d'un cran avec le chiffre suivant du nombre A (dont l'écriture est complétée au besoin avec une virgule et des 0). Cela forme un nouveau nombre que l'on va prend comme dividende "courant", c'est à dire que l'on va diviser à l'étape suivante.
• A l'étape suivante, on effectue la division euclidienne entière de ce dividende par B : le quotient entier est écrit à droite, sous le trait de division, le reste est écrit à gauche, sous le dividende courant.

Plus précisément, supposons que le diviseur B comporte n chiffres.

• Une première division entière est effectué avec le dividende formé par des n premiers chiffres de A (rappelons que l'écriture est complétée, si besoin est avec une virgule et avec des 0) ; on obtient un quotient entier Q₁ et un premier reste R₁.
• On "abaisse alors le chiffre suivant", en formant un nouveau dividende A₂ . La divison entière de A₂ par B fournit un second quotient entier Q₂ et un premier reste R₁
• On poursuit de la même manière, tant que le reste obtenu n'est pas nul : ayant un k-ième reste R_k on abaisse le chiffre suivant", formant un nouveau dividende A_k+1 . La divison entière de A_k+1 par B fournit le quotient entier suivant Q_k+1 et le reste suivant R_k+1 ...

Ainsi, au fur et à mesure des calculs, s'inscrivent à droite les chiffres successifs du quotient exact, tandis qu'à gauche se présentent les restes successifs.

La formule (1)pour la division euclidienne (voir plus haut) indique que chaque reste est inférieur au diviseur B. Ceci implique que, si la division ne s'arrête pas, nous allons obtenir comme reste un reste déjà obtenu auparavant.

Observons que ce phénomène de répétition se produit quelque soit le nombre d'étapes déjà effectuées, et en particulier il se produit après que tous les chiffres non nuls de A aient été abaissés. Puisque les dividendes s'obtiennent alors en ajoutant un 0 au reste courant, cela signifie que on va retrouver un dividende déjà obtenu.

A partir de ce dividende, le calcul de la division va reproduire fidèlement les calculs déjà effectué lors de la première apparition de ce dividende. Ce sont les même chiffres qui vont apparaître successivement dans l'écriture décimale du quotient exact de A par B, jusqu'à ce qu'on retrouve, pour la troisième fois, ce même dividende... et la répétition recommence, inféfiniment.

Donc :

- soit la division de A par B s'arrête : le quotient exact est alors un nombre décimal.

- soit, au bout d'un certain temps, la succesion de calcul devient périodique, c'est à dire qu'on obtient dans le quotient exact une succession de chiffres qui se répète indéfiniment.

L'écriture d'un nombre décimal pouvant toujours être considérée comme périodique (il suffit de compléter l'écriture décimale finie avec une infinité de 0), on conclue :

Théorème

Il est naturel de se demander si ce théorème admet une réciproque :

Une remarque conclusive : on peut se rendre compte que la division décimale des nombres entiers, se généralisent à toute base ; nos explications aussi... On peut même en généraliser à d'autres objets mathématiques que les nombres entiers (des polynômes d'une variable par exemple, cette variable jouant alors le rôle de la base), mais cela est une autre histoire...