Eva Bayer-Fluckiger, Le noeud de trèfle ne se dénoue pas. Comptes Rendus MATh.en.JEANS 00-12

Lemme. La propriété de tricolorabilité est préservée par les mouvements de Reidemeister

[Preuve. Rappelons les quatre conditions auxquelles doit satisfaire une tricoloration :

• (1) Chaque brin est coloré par une couleur.
• (2) Lorsqu'un brin passe au dessus d'un croisement, le brin qui le suit est de même couleur.
• (3) A chaque croisement, 1 ou 3 couleurs sont présentes.
• (4) Tous les brins ne sont pas de la même couleur.

Pour démontrez le lemme, nous examinons un diagramme de noeud quelconque D et le tranformons en un autre diagramme D' par un des mouvements de Reidemaster et nous prouvons l' équivalence

(Eq)         D est tricoloréD' est tricoloré

Pour cela, on montre dans chaque cas comment déduire une tricoloration de D' à partir d'une tricoloration de D, et réciproquement comment déduire une tricoloration de D à partir d'une tricoloration de D'.

(I) La boucle	La condition (3) force les brins d'une boucle à être de même couleur dans toute tricoloration. Pour obtenir une tricoloration de D' à partir d'une tricoloration de D (et réciproquement) il suffit de conserver la couleur des brins concernés.
(II) Les croisements jumeaux	Deux cas apparaissent. Les schémas suivants montrent comment modifier dans chaque cas les colorations tout en préservant les conditions (1)(2)(3)(4). ou
(III) Le glissement d'un arc	Compte-tenu des conditions (1)(2) et (3), 6 cas différents apparaissent (on peut vérifier en effet que la coloration de 3 brins fixés force la coloration des autres brins). Voici, par exemple, comment traiter l'un de ces cas : Les 5 autres cas se traitent de façon analogue.]