Sauts de puces - Lycée Paul Sabatier (Carcassonne) Lycée Léon Blum (Villefranche de Lauragais)

Titre du sujet
Sauts de puces
Établissement
Lycée Paul Sabatier (Carcassonne)
Année
2017-2018
Etablissement(s) jumelé(s)
Lycée Léon Blum (Villefranche de Lauragais)
Résumé
Sauts de puces

Une première espèce de puces saute sur une droite graduée en nombres entiers.
Elle part de 0 et saute toujours dans la même direction. Elle arrive sur le 1, puis le 3 puis le 6 etc....à chaque saut l'écart augmente de 1.
Est ce qu'elle peut arriver sur un nombre à deux chiffres identiques ? Un nombre à trois chiffres identiques ?
Comment calculer le nombre sur lequel elle arrive en n sauts ?

Une seconde espèce fait des sauts en avant ou en arrière, toujours avec un écart qui augmente de 1. Mais on veut qu'elle arrive sur le nombre n en ayant fait exactement n sauts et sans être sortie du segment [0, n]. Elle peut atteindre 1 mais pas 2 et 3 …
Quels nombres (entre 1 et 10) sont atteignables ? Et les suivants ?