"Journées portes ouvertes à la prison de Sikinia"-Collège du Village (Evry)-

Titre du sujet
Journées portes ouvertes à la prison de Sikinia
Établissement
Collège du Village (Evry)
Année
2012-2013
Résumé
La prison comporte 100 cellules, numérotées de 1 à 100, qui peuvent être soit ouvertes, soit fermées. En temps normal toutes les portes sont fermées. Lors de la journée «  portes ouvertes », le directeur de la prison décide de libérer une partie des prisonniers, au moyen de la règle suivante :
il tourne d'abord toutes les serrures,
puis il tourne une serrure sur 2 à partir de la deuxième cellule,
puis il tourne une serrure sur 3 à partir de la troisième cellule, etc...
À la fin de la journée, dans chaque cas, quels sont les prisonniers qui ont été libérés ?

Après des travaux d'aménagement, la nouvelle prison est désormais circulaire : les N cellules sont disposées sur un cercle, et numérotées de 1 à N. Lors de la journée « portes ouvertes » le directeur décide de libérer une partie des prisonniers , suivant une nouvelle règle : il choisit un nombre entier k entre 1 et N, et il parcourt le cercle des cellules à partir de la cellule 1 en ouvrant une cellule sur k. Ainsi il ouvre la cellule 1, puis la cellule 1 + k, puis la cellule (1 + k)+ k = 1 + 2k, etc...en faisant plusieurs tours de la prison (quand il arrive à la cellule N, il continue en passant devant la cellule 1, puis la 2, etc...). À la fin de la journée, quels sont les prisonniers libérés ? On essaiera d'abord avec de toutes petites valeurs de N et de k avant de réfléchir à des valeurs plus grandes, puis à tenter de généraliser.
On peut aussi s'interroger pour déterminer au bout de combien de tours il serait possible que tout le monde soit libéré ? A la fin combien de prisonniers seront libérés en fonction de la valeur de N et de k ? Regarder les cas où le nombre de cellules N est un nombre premier, puis essayer de trouver une formule qui donnerait le nombre de prisonniers libérés en fonction de N et k ?