Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)

Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.

Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.

Productions d'élèves

Un partage sans fin ou sans faim? - Istituto di Istruzione Superiore Giordano Bruno (Mestre - Italie)
In Autumn, a population of squirrels stocks up on hazelnuts to pass the Winter. Each squirrel collects his personal stock of hazelnuts. To make sure every squirrel has the same amount of hazelnuts, they made up a partition system: when two squirrels meet, they compare their stocks. The squirrel that has less hazelnuts receives by the other the same number of nuts as he owns. This method goes on until they own the same amount of hazelnuts.
Are there any situations where this partition never ends? If this partition ends, how many steps does it take to get to end?
Mots clés: partage, pair, impair, puissance de 2
Diviser pour mieux compter - Lycée Auguste Angellier (Dunkerque)
On montre que les fractions continues à coefficients constants correspondent à des solutions d’équations du second degré à coefficients entiers, et on établit les développements en fraction continue de √2 et de √5.
Mots clés: fraction, fraction continue, racine carrée
L'éternelle fortune - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Un nombre fini de pièces d’or est réparti en paquet. A chaque étape, une pièce d’or est retirée de chaque tas pour former un nouveau tas. Cette opération est répétée avec la nouvelle répartition. La question est alors de savoir si le processus s'arrête et si oui au bout de combien d’opérations.
L'article présente le problème de différentes façons : avec des piles, des nombres pour finir par un « boulier » qui permet de mettre en évidence des opérations et justifie efficacement les résultats.
Mots clés: combinatoire, empilement
Un modèle stochastique pour la gestion des stocks - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis) Lycée Bellevue (Alès)
In this work, a model for the management of fishing stocks is studied under the assumptions that, in a some site, the growth of a certain species is limited by the available resources and that a constant amount is fished every year. It is mainly a discrete time model: evolution from one year to the next given by a recurrence close to the logistic map, but the variant in continuous time, governed by a differential equation is also studied. Depending on the value of the parameters (maximum biomass of the site, initial biomass, basic reproduction rate, quantity fished), different evolutions appear: extinction, stabilization or, in the discrete case, chaotic evolution.
Mots clés: dynamique des populations, évolution, suite logistique, convergence, chaos, extinction
Two problems on touching circles - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Sangaku are traditional Japanese wood paintings representing geometric problems. In this work, the authors consider series of circles tangent to each other and to a same given line, or to each other and to a same other circle. In the first case, they determine the radii of the generated circles and relate their structure to the Stern-Brocot tree, a binary tree whose vertices correspond to all positive rational numbers. In the second case, using the inversion transformation it is shown that the first Sangaku can be mapped to the second one, so that they are actually equivalent.
Mots clés: sangaku, cercle, tangent, arbre de Stern-Brocot, inversion
Faites des routes, pas la guerre ! - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Il s’agit d’un jeu à deux, où on commence avec deux châteaux et un certain nombre de villes puis chacun à tour de rôle construit une route reliant deux lieux, villes ou château. Les routes doivent être liées, directement ou non, à l’un des deux châteaux. Le joueur qui crée une route permettant d’aller d’un château à un autre a perdu.
Il est montré que dans le cas d’un nombre pair de villes le second joueur gagne avec une une stratégie par symétrie, et que dans le cas d’un nombre impair de villes, l’un ou l’autre ou l’autre des joueurs selon que ce nombre est de la forme 4k+1 ou 4k+3 a un gain quasi automatique.
Mots clés: jeu, graphe, combinatoire
Damier à noircir - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Étant donné un damier carré de n cases de côté et quelques cases initialement noircies à l’intérieur, peut-on colorier entièrement ce damier sachant qu’on peut colorier une case si elle possède au minimum deux cases voisines (par un côté) noircies. Ce texte donne quelques exemples, puis en utilisant la notion de périmètre de la figure noircie, établit une condition nécessaire sur le nombre de cases noircies initialement pour colorier tout le carré. Des cas particuliers où on peut tout noircir sont exhibés. Enfin certains cas lorsque la figure du départ et les cases ne sont plus carrées seront examinés.
Mots clés: pavage, coloriage
La vie d'un plancton - Collège Alain Fournier (Orsay)
Les élèves du collège Alain Fournier à Orsay ont étudié la probabilité de survie d’un plancton qui se déplace verticalement. Chaque jour, il va d’une unité vers le haut avec probabilité de 1/2, ou d’une unité vers le bas avec une probabilité de 1/2. Le plancton meurt s’il atteint la surface ou le fond de la mer. Les élèves ont étudié, en fonction de la hauteur de départ, si le plancton pouvait survivre indéfiniment, puis — s’il ne survivait pas indéfiniment — quel serait le temps moyen au bout duquel il serait tué et enfin s’il serait tué en touchant plus tôt le fond ou la surface.
Mots clés: probabilité, marche aléatoire, convergence
Boom ! - Collège Alain Fournier (Orsay)
On cherche à stocker n paquets de dynamite dans une cave de longueur N. Attention, on ne peut pas placer deux paquets côte à côte sinon ils explosent ! Combien y a-t-il de façons de stocker la dynamite ?
Mots clés: combinatoire
Alerte au voleur - Collège Alain Fournier (Orsay)
Ce travail étudie la manière de recouvrir un carré par des disques. La première partie traite du recouvrement par un nombre donné de disques identiques, il s’agit alors de trouver le rayon minimum. Pour un recouvrement avec un, deux ou quatre disques, le problème est entièrement résolu. Pour un recouvrement avec trois disques, les jeunes chercheurs proposent une méthode presqu’optimale qui découle d’une étude avec Geogebra.
Dans une seconde partie, le rayon des disques est imposé à 1 et les jeunes chercheurs se sont intéressés au nombre minimum de disques nécessaires pour recouvrir un carré de côté 10. Il ont aussi étudié, la surface perdue qui est la différence entre la surface totale des disques et celle du carré.
Mots clés: disque, surface, recouvrement
Le facteur ne repassera pas - Collège Alain Fournier (Orsay)
Le travail du facteur n’est pas si simple que vous pensez ! Imaginons une rue composée de n maisons alignées. Partant de la première, quels sont tous les ordres possibles de parcours des maisons pour y déposer le courrier ? Parmi ces trajets, lesquels minimisent la distance parcourue par le facteur ?
Lesquels la maximisent ? Les réponses proposées utilisent les fonctions factorielle et exponentielle.
Mots clés: dénombrement, optimisation
Ovalie - Collège Alain Fournier (Orsay)
Au rugby, on peut marquer 3 points (via un drop ou une pénalité), 5 points (via un essai non transformé) ou 7 points (via un essai transformé) ? Est-ce que 13-10 est un score possible ? Est-ce que 4-3 est un score possible ? Quels scores peut-on réaliser ? Etant donné un score, combien y a-t-il de façons différentes de le réaliser ?
Mots clés: arithmétique
L'allumeur de lampadaires - Lycée Jean Lurçat (Bruyères) Lycée Claude Gellée (Épinal)
Dans l’allée d’une ville 10 lampadaires sont disposés en ligne numérotés de 1 à 10, ils sont éteints ou allumés chaque soir par un allumeur de lampadaires ; il les allume de la droite vers la gauche selon la règle suivante : si un lampadaire est allumé il change l’état du suivant c’est-à-dire s’il était allumé il l’éteint et s’il était éteint, il l’allume. Le premier soir seul le lampadaire numéro 1 est allumé on cherche donc au bout de combien de soirs tous les lampadaires seront allumés et dans un second temps si on peut prévoir leur comportement pour un nombre n de lampadaires. Les résultats obtenus sont qu’au bout de 2^n jours, il y a 2^n lampadaires allumés, et que le jour suivant il n’y en a plus que 2.
Mots clés: triangle de Pascal, récurrence, coefficient binomial
Line Drawing Algorithm - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
This article presents a fast line segment plotting algorithm using only integer calculations, due to J. E. Bresenham, and also the analogous circle plotting algorithm.
Mots clés: pixel, algorithme, algorithme de Bresenham
Suite diatomique - Lycée Paul Guérin (Niort)
L’article s’intéresse à la suite de Stern et démontre plusieurs propriétés, pour certaines assez surprenantes, qui n’ont été établies qu’assez récemment. En s’inspirant des pistes esquissées par Jean-Paul Delahaye dans un article de la revue « Pour la Science » (n°420, octobre 2012, disponible sur le site de l’auteur : https://www.cristal.univ-lille.fr/~jdelahay/pls/227.pdf), l’article démontre un ensemble de propriétés et théorèmes qui lient la suite de Stern à celle de Fibonacci, mais également au triangle de Pascal, la représentation hyperbinaire des entiers, ou encore le dénombrement des nombres rationnels.
Mots clés: suite numérique, suite de Fibonacci, triangle de Pascal, binaire, rationnel, récurrence, arbre, fraction continue
Article : Flyovers - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
One tries to connect a given number of towns by roads, with bridges (“flyovers”) to avoid crossings at intersections. What is the minimum number of bridges required for n towns? The problem is solved up to 6 towns, and for 7 and 8 towns examples are given that yield at least an upper bound of the minimum number of flyovers.
Mots clés: graphe, graphe complet, graphe planaire
Article : Piece of Cake - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Cet article (écrit en anglais) traite du problème de couper un gâteau, ou une forme plane, en deux morceaux d'aire égale, en un coup de couteau. Il propose une construction à la règle et au compas dans le cas d'un triangle, d'un quadrilatère convexe, puis, plus généralement d'un polygone convexe à n côtés. Il s'intéresse ensuite au cas où le gâteau a un trou : il propose une construction dans les cas où on peut en un coup de couteau couper le trou en 2 part égales et le gâteau sans trou en 2 part égales. Enfin, il propose une solution numérique pour couper des polygones convexes à n côtés en m parts égales.

Problems of cutting a 2D shape (usually a cake) in multiple pieces of equal areas often occur in daily life.…
Mots clés: géométrie, polygone, construction à la règle et au compas, récurrence
Article : Regardant autour - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Whether two points above the Earth surface can “see” each other depends on the distance between them and on their altitude. In the work, the relationship between distance and altitudes is calculated in various cases.
Mots clés: géométrie, trigonométrie
Article : Nombres au choix - Lycée Français de San Francisco
Étant donnés quatre nombres entiers a, b, x et y, on peut successivement multiplier par a ou ajouter b, dans l’ordre qu’on veut. En fonction de ces données, quand peut-on d’atteindre tous les entiers supérieurs à un certain nombre ? Ce problème est complètement résolu dans l’article au moyen de l’arithmétique et en particulier des congruences.
Mots clés: arithmétique, congruence, racine primitive
Article : In between - Colegiul national B.P. Hasdeu (Buzau)
You get lost in a street with houses numbered from 1 to n (which is a positive integer - a known value), placed on only one side of the road. All you know is that the numbers of the houses on the right side of your home add up to the same result as the numbers of the houses on its left. Can you find your address?
Mots clés: somme d'entiers, carré, carré parfait, nombre triangulaire
Article : Calculs d'aire sur papier quadrillé - Lycée Catherine et Raymond Janot (Sens}
Le but est de trouver le lien unissant le nombre de points intérieurs, le nombre de points sur le bord, et l'aire d'un polygone dont les sommets sont des points d’un quadrillage. Une formule (formule de Pick) est conjecturée à partir d’exemples, puis démontrée dans des cas simples et une piste est donnée pour la généraliser.
Mots clés: polygone, aire, quadrillage, formule de Pick
Poster : Couloirs et distanciation - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
We constructed a corridor model and chose to analyze the efficiency of such a corridor based on its shape.
Mots clés: modélisation
Article : Jeu de dés - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
 L’enjeu du problème « Alea Jacta Est » est de définir une stratégie efficace pour un jeu de dés dont les règles sont les suivantes.
Ce jeu se joue avec deux joueurs et un meneur du jeu. Les joueurs prennent connaissance de deux dés cubiques équilibrés comportant des faces bleues et des faces rouges. Puis le meneur du jeu prend au hasard un dé sans le montrer aux joueurs. Il le lance alors à l’abri des regards et annonce la couleur de la face supérieure du dé lancé, comme on lit le numéro sorti au lancé d’un dé classique à faces chiffrées. Le but des joueurs est de deviner quel dé a été lancé. Le meneur du jeu lance son dé, en annonçant à chaque fois la couleur obtenue, jusqu’à ce qu’un des joueurs dise le dé qu’il pense avoir été lancé. S’il a…
Mots clés: analyse de jeu, probabilité, stratégie gagnante, programmation, loi binomiale - Voir aussi : https://www.youtube.com/watch?v=qy65v3X44o4
Article : Balle aux prisonniers - Lycée Carnot (Paris)
Ce travail détermine les chances de victoire de chaque joueur lors d’un jeu de balle aux prisonniers à trois joueurs. Dans cette version, chaque joueur touché est éliminé, le dernier joueur est déclaré vainqueur.
La première étude consiste à modéliser le problème. Comme la durée de la partie n’est pas connue à priori, cela nécessite la mise au point « d’arbres en boucle » qui permettent de visualiser des situations qui se répètent.
Le deuxième travail, une fois les hypothèses clairement énoncées, consiste à établir des stratégies gagnantes pour chaque joueur, en fonction différents paramètres : ordre dans le jeu, précision du tir et choix de passer ou non son tour. Ce travail est basé sur le calcul des probabilités consécutif à l’étude des…
Mots clés: arbre, stratégie gagnante, probabilité - Voir aussi : https://youtu.be/BaX43vdcA4k
Article : Compter les rebonds - Lycée Carnot (Paris)
Deux cubes se déplacent sans frottements avec le sol sur une ligne droite bordée d'un côté par un mur. Initialement, le premier cube est immobile, et le second est lancé vers lui à une certaine vitesse. Les rebonds entre les 2 cubes et entre le premier cube et le mur sont supposés se produire sans perte d'énergie. Dans cet article, on détermine le nombre de rebonds en fonction des masses des cubes et de la vitesse initiale à l’aide d’une représentation géométrique. La généralisation au cas de plus de 2 cubes et la prise en compte de pertes d'énergie sont aussi envisagées.
Mots clés: dynamique, collision - Voir aussi : https://youtu.be/7ENdkhviOeI
Poster : Panneaux solaires - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Our school wants to equip most of its roof with solar panels to reduce its use of energy. We estimated the possible number of solar panels and the expected yield in a year.
Mots clés: estimation, géométrie
Article : Étude des espèces invasives - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This paper considers the development of a garden (represented by a matrix) in which, every year, plants spread seeds over the adjacent plots according to specified patterns. Different patterns are considered, and the growth of the garden is investigated by means of C++ programs or matrix operations.
Mots clés: matrice, algorithme, programmation
Article : Volume d’un arbre - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
The aim of the paper is the calculation of the volume and of the density of an idealized tree. Every branch in the tree has the form of a truncated cone and is assumed to generate two new smaller branches similar to it. The full tree is obtained by repeating the duplication process infinitely many times on each branch.
The volume of the full tree turns out to be expressed by a geometric series, which is convergent for suitable values of the ratio of similarity between two consecutive branches.
Another result presented in the work regards the density ρ of a tree. It is shown that ρ can be expressed in terms of the density of the dry tree, of the density of water, and of the percentage of water in the wet tree.
An Android application for…
Mots clés: volume, densité, convergence
Article : Modélisation de la croissance de végétaux - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
L-systems are introduced as models for plant growth.
Mots clés: L-système, récurrence
Article : Decomposing integers - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
What are the integers that can be written as x2+ay2, where a∈Z is fixed?
Les élèves résolvent graphiquement les cas a=0,1,2,-1,-2 pour un entier n entre -21 et 21.
Mots clés: arithmétique, équation diophantienne
Article : Visite à la Mezquita - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
 La grande mosquée de Cordoue contient plus de 800 colonnes, disposées régulièrement sur un quadrillage. Si on se place au centre, quelles colonnes sont visibles, lesquelles ne le sont pas ? Y a t-il de grandes zones non visibles ? La question de la visibilité d’une colonne est liée au pgdc entre leur deux coordonnées. À l’aide d’une exploration informatique poussée, des images des colonnes visibles sont créées et une grande zone cachée est trouvée.
Mots clés: configuration de points, colonne, coordonnée, pgcd, nombres premiers entre eux, code, modélisation informatique
Article : Le sujet dont vous êtes l’auteur - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
The work consists of two problems proposed by the students themselves.
In the first problem, the authors consider this question: “given an n×n table and a prime number p, in how many ways the table can be filled with integer numbers such that all the products on each row and each column is p or -p?”.
In the second problem, the question to be answered is: “given a product N = p_1 p_2 ... p_n of different prime numbers, in how many ways N can be written as x^2-y^2, where x and y are positive natural numbers?”
Both problems are solved in the work. Some simulations with the program C++ are also given
Mots clés: simulation, répartition des nombres premiers, combinatoire
Article : Dominos sur grilles trouées - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
In this paper the author studies the possibilities of paving with dominos a square grid where an arbitrary number of obstacles are placed, that is from which an arbitrary number of cells have been removed. Different approaches are considered: direct study for a grid with a pair of obstacles, examples with more obstacles, approach by graph theory and then by linear algebra.
Mots clés: pavage, domino, graphe, graphe biparti, système linéaire
Article : Une question de tournois - Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue)
Cet article étudie les situations d’égalité lorsque des équipes se rencontrent les une les autres lors d’un tournoi. Y est discutée la probabilité qu’apparaissent, à l’issue d’un tournoi, des équipes
« jumelles » ayant obtenu les mêmes résultats au cours de leurs matchs.
Mots clés: tournoi, graphe, combinatoire
Article : Irrational numbers - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
Si d est un entier dont la décomposition en nombres premiers ne contient pas de carrés, trouver les entiers a et b tels que a+b√d soit inversible et que son inverse de soit la forme a’+b’ √d où a’ et b’ sont des entiers.
Mots clés: écriture des nombres, équation de Pell
Article : La grosse équation - Lycée Le Likès (Quimper)
Les auteurs étudient l’équation diophantienne x/(y+z)+y(x+z)+z/(x+y) = 4.
Les tests sur un grand nombre de cas au moyen d’un ordinateur les amènent d'abord à la conjecture qu’il n’y a pas de solutions dans l’ensemble des nombres entiers positifs. Ils démontrent ensuite que cette conjecture est fausse. La détermination d’une solution utilise un bel argument géométrique qui permet de simplifier les calculs et de trouver la solution cherchée au moyen d’un processus itératif astucieux. Au vu des grands nombres impliqués, cette solution ne pouvait être obtenue à l’aide d’un simple algorithme de test. Au contraire, l’utilisation cruciale d’une approche géométrique, en considérant une certaine surface dans l’espace et la courbe obtenue par…
Mots clés: équation diophantienne, géométrie
Article : Jeu de type morpion - Lycée Les Catalins (Montélimar) Collège Marguerite Duras (Montélimar)
Ce jeu de type morpion est une version un peu différente du morpion classique, dans le sens où le joueur 1 cherche à aligner trois pions sur un morceau de quadrillage et l'autre (joueur 2) cherche à l'en empêcher. La forme du quadrillage est libre et les alignements en diagonale proscrits. L’autrice exhibe plusieurs formes minimales gagnantes pour le premier joueur quelques soient les coups du deuxième joueur : si un quadrillage contient une des ces formes, alors le premier joueur gagne. Un certain nombre de cas sont traités, avec des résultats établis et des conjectures qui restent à démontrer.
Mots clés: jeu, morpion, stratégie de jeu, stratégie gagnante
Article : Le lapin et le camion - Lycée Le Likès (Quimper)
Un lapin doit traverser une route sans se faire écraser par un camion. À partir de cette situation, on va plonger dans l’espace-temps et y trouver un cône et des coniques.
Mots clés: poursuite, espace-temps, conique, ellipse
Article : La valse des polygones - Collège Alain Fournier (Orsay)
Soit p un polygone circonscrit à un cercle de centre O et p’ son image par une rotation de centre O.
Ce travail étudie les propriétés (nombres de côtés, aires et périmètres) des polygones obtenus par réunion et par intersection de p et p’.
Mots clés: polygone, périmètre, aire, rotation, trigonométrie, polygone régulier
Article : Pariez, mais je gagne - Collège Gaston Fébus (Orthez)
Il s’agit de trouver une stratégie pour ranger dans l’ordre, face dessus, une série de cartes numérotées présentées dans le désordre et retournées ou non ; à chaque coup on choisit deux cartes adjacentes, on les permute et on retourne l’une d’entre elles. Pour le jeu simplifié sans les retournements, une stratégie gagnant en un minimum de coups est établie dans cet article ; avec les retournements, il apparaît une condition de parité pour que le problème soit résoluble.
Mots clés: permutation, transposition, stratégie, parité
Article : L’objet Invisible - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Dans cet article un objet est dit « invisible » quand on voit ce qui est derrière lui, comme si l’objet n'était pas là. Un objet peut être rendu invisible en déviant les rayons de lumière avec un système de miroirs, mais ces miroirs doivent être positionnés et orientés astucieusement pour que d’une part les rayons de lumière reprennent la direction initiale après les multiples réflexions par les miroirs et d’autre part n’intersectent pas l’objet, le rendant ainsi « invisible » . Pour ce faire, une analyse géométrique détaillée des propriétés de réflexion de la lumière est faite et plusieurs configurations sont trouvées. Une de ces configurations est confirmée par une expérience.
Mots clés: géométrie, triangle, miroir, optique géométrique
Article : Les pokemons - École alsacienne (Paris)
Un pokémon est attribué à chaque élève d’un groupe. Le but est que chaque élève retrouve son pokémon. Les élèves passent les uns après les autres dans une salle et donnent une réponse. Chaque élève connaît la liste des pokémons utilisés, ceux attribués aux élèves suivants et les réponses précédentes. Le but est de trouver une stratégie pour faire le moins d ‘erreurs possibles.
Mots clés: algorithme, jeu, code correcteur
Article : La grenouille - École alsacienne (Paris)
Les auteurs considèrent un quadrillage rectangulaire, avec un nombre arbitraire de lignes et de colonnes, privé de deux cases situées à deux coins opposés. Une grenouille se trouve sur ce quadrillage et peut se déplacer seulement d’une case à l’une des quatre cases adjacentes. La question est de savoir s’il existe des chemins de la grenouille qui couvrent toute la table en ne passant pas plus d’une fois par chaque case.
Il est montré que le problème a une solution quand le nombre de lignes ou celui des colonnes est impair, mais qu’il n’y en a pas quand le nombre de lignes et celui des colonnes sont tous deux pairs.
Mots clés: quadrillage, chemin, chemin eulérien
Problème de la pizza
Mario et Luigi ont une pizza. Mario découpe la découpe comme il le veut mais il doit forcément faire un nombre pair de parts (qui peuvent être de tailles différentes). Ils choisissent ensuite tour à tour une part en commençant par Luigi qui prend la part qu'il veut mais ensuite le choix devra se faire de manière adjacente à la part prise précédemment.
Mario peut-il faire un découpage lui permettant d’avoir plus de pizza, quels que soient les choix de Luigi ?
Mots clés: fraction, stratégie
Article : Drôle de carrelage - Collège Alain Fournier (Orsay)
Nous voulons remplir un couloir de taille 2 par n avec des dominos de taille 2 par 1. Combien y a-t-il de façons de procéder ? Le résultat est démontré grâce à la fameuse suite de Fibonacci ! Et pour un couloir de taille 3 par n ?
Mots clés: pavage, domino, combinatoire énumérative
Article : Le hasard peut-il nous mettre d’accord ? - Collège Alain Fournier (Orsay)
On considère une classe de 22 élèves. Au départ, chaque élève a un joueur de l'équipe de France préféré parmi la liste des 22 joueurs sélectionnés pour l'Euro de foot. Chaque jour un élève E choisit un autre élève F et devient influencé par celui-ci dans le sens où le joueur préféré de E devient le joueur préféré de F.
Si les deux avaient initialement le même joueur préféré rien ne change...
Les élèves finiront-ils tous un jour par aduler le même joueur ? Quand ?
Mots clés: probabilité, hasard, convergence
Article : La conspiration de la terre plate - Collège Alain Fournier (Orsay)
L’article étudie les effets de la représentation plane de la terre sur les distances et les surfaces.
Mots clés: carte, géométrie sphérique, distance, surface minimale
Article : The clock and the planets - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
The aim of the article is to study the angles that the clock hands form.
We will describe which angle the two clock hands form in a determined hour during the day and
then we will analyze some particular situation.
Then, starting from the clock problem, we will study the planetary motion, we will find out the
angular position and the time at which it would be more advantageous to launch a spaceship from
one planet to reach another one with the shortest possible distance.
Finally we will propose the results of two simulations concerning the Solar System using Unity.
Mots clés: coordonnée polaire, géométrie, rotation
Article : Les tours de Hanoï - Lycée Paul Guérin (Niort)
Dans cet article, on s’intéresse au jeu appelé "tours de Hanoï". On détermine le nombre de coups
minimum pour résoudre le jeu, on donne un programme qui donne la solution optimale et on établit
quelques statistiques. On s’intéresse ensuite à plusieurs variantes du jeu où certains mouvements sont
interdits.
Mots clés: tour de Hanoï, suite récurrente, algorithme récursif
Article : Extinction d’une population - Lycée Paul Guérin (Niort)
Ce sujet traite du processus dit de Galton-Watson . On a au départ un individu à la génération 0. A chaque nouvelle génération, chaque individu de la génération n a une probabilité pi d’avoir i enfants, la famille des pi étant fixée. Quelle est la probabilité que la descendance de l’individu initial finisse par s’éteindre. Dans ce travail les élèves résolvent le problème pour p0=1/8, p1=3/8, p2=3/8 et p3=1/8.
Mots clés: suite, fonction, limite, convergence, calcul de probabilité
Article : Un triangle peut en cacher (beaucoup) d’autres - Lycée Paul Guérin (Niort)
Un triangle équilatéral de côté n est découpé en triangles équilatéraux de côté 1 par les parallèles aux côtés. Combien de triangles de toutes tailles peut-on voir au total ?
Mots clés: triangle, combinatoire, dénombrement
Article : Les droïds à l’attaque - Lycée Raynouard (Brignoles) Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Chaque planète dans une galaxie est accessible de certaines autres et est habitée par un certain nombre de droïdes. A la fin de chaque siècle, chaque droïde en envoie une copie aux planètes accessibles et s’autodétruit. La population de droïdes des planètes est étudiée dans ce travail, en fonction du nombre initial de droïdes et de la relation d’accessibilité. Certains problèmes sont modélisés au moyen de matrices, d’autres sont étudiés dans le cadre des graphes.
Mots clés: graphe, matrice, robot
Article : Social distancing in the classroom - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Our research deals with arranging a certain number of students and a teacher in a classroom, while maintaining the social distance between the people in the room. Having the dimensions of the class and the length of the distance that must be kept between the students, we have to find an optimal method of arrangement, so that we can introduce as many people in the class as possible.
Mots clés: géométrie, cristallographique, surface minimale, polygone régulier
Article : The roof is on fire - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Problems that require determining the optimal trajectory between two points under certain restrictions often occur in practice. In this paper we try to find the position of a point such that the path that joins two given points, passing through, is traveled in minimum time. The speeds with which the road is traveled until the arrival in and after leaving are different. In the second part of the article we consider the speed constant along the trajectory, but we impose more restrictions on the trajectory.
Mots clés: dérivation, distance minimale
Article : Breeding (like) rabbits - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
The students study the evolution of a group of rabbits. They start with an ideal case where the mortality rate is null, then they consider a more realistic approach, introducing new variables, namely the mortality rates for immature and adult rabbits.

Mots clés: suite de Fibonacci, suite récurrente, matrice
Diaporama : Le sens de l’équilibre - Collège du Westhoek (Coudekerque Branche)
On a n droites et un certain nombre de plots. On dispose 3 plots sur chaque droite, ce qui détermine le nombre p de plots. Les plots sont numérotés de 1 à p. On fait la somme des numéros de plots de chaque droite : si cette somme est la même pour toutes les droites, la figure est dite « équilibrée » et la somme des numéros de plots sur chaque droite est la « constante magique ». Les auteurs montrent comment on peut calculer les valeurs possibles de cette constante magique. Ils traitent ensuite le cas où on a deux ou trois droites et font un premier essai pour 5 droites.
Mots clés: combinatoire, divisibilité
Diaporama : Toujours un jeu gourmand - Collège du Westhoek (Coudekerque Branche)
Cet article étudie le jeu à deux joueurs qui se joue avec une “tablette de chocolat” rectangulaire et où, tour à tour chacun des joueurs choisit deux carrés côte-à-côte sur la tablette parmi ceux qui ne sont pas encore pris. Le joueur qui ne dispose plus de deux carrés côte-à-côte a perdu. Après avoir étudié quelques situations particulières, on établit des stratégies gagnantes pour le second joueur dans le cas des tablettes pair x pair, et pour le premier dans le cas impair x pair.
Mots clés: jeu, stratégie de jeu, grille, domino
Article : Mille pattes - Lycée Louis Massignon (Casablanca)
Les mille-pattes n’ont pas de doigts, mais ils ont des pattes qu’ils peuvent plier, tendre ou croiser ! L’objectif de ce travail est d’établir diverses manières de compter qui puissent convenir à un mille-pattes. En préliminaires, l’article décrit un ensemble de méthodes pour compter sur les doigts d’une main, notamment une méthode originale mise au point par les élèves. Deux méthodes sont ensuite comparées : la première ou chaque patte peut être soit tendue, soit pliée, et la deuxième où deux pattes voisines peuvent être croisées ou non. La première correspond au système binaire et le décompte des combinaisons possibles permet de compter jusqu’à 1023 avec 10 pattes. Les quatre opérations usuelles sont décrites dans ce système. Il est ensuite montré que le…
Mots clés: base binaire, combinatoire, suite de Fibonacci
Article : Automates cellulaires: un feu de forêt - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
On s’intéresse à la question de la propagation d’un feu de forêt selon un modèle d’automate cellulaire. Afin de modéliser la propagation, on modélise la forêt en une grille, et on considère que l’évolution de chaque case de la grille va dépendre des cases alentours (ou à une certaine distance).A un instant t (le temps est discrétisé en tours) une forêt est composée d’arbres, d’arbres en feu, et de cendres. Par exemple, on pourra dire qu’une case d’arbre prendra feu si il y a au moins 1 case d’arbre en feu à côté d’elle. Un arbre se sera totalement consumé au bout de x tours.
Il s’agit d’étudier, au travers d’une implémentation, la possibilité de propagation d’un feu de forêt, et les conditions d’arrêt de celui-ci. On pourra également prendre en…
Mots clés: automate cellulaire, propagation, modèle mathématique, optimisation spatiale, espérance
Article : Le redécoupage électoral ou Gerrymandering - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Le gerrymandering est un terme anglo-saxon désignant la pratique consistant à découper la carte électorale de façon plus ou moins artificielle de manière à avantager un parti ou candidat. Dans ce travail, les élèves montrent quelles mathématiques se cachent derrière un gerrymandering efficace.


Mots clés: combinatoire, statistique
Diaporama : Stratégies dans les jeux. - Collège l’Impernal (Luzech)
Peut-on trouver une stratégie pour gagner à coup sûr au jeu des allumettes ?
Et au morpion ?
Mots clés: stratégie, analyse de jeu, jeu de Nim
Article : Dénombrement des arbres enracinés - Lycée Emile Duclaux (Aurillac)
Un arbre enraciné est représenté mathématiquement en choisissant une racine, et en lui faisant pousser des branches, puis au bout de ces branches d'autres branches, etc. Chaque jonction est un nœud de l'arbre. Cet article propose, pour un entier n donné, de compter le nombre d'arbres enracinés à n nœuds.
Préparez-vous pour un beau voyage au pays des combinaisons avec et sans répétitions, aboutissant après plusieurs démonstrations par récurrence, à une superbe formule ! Les élèves ont ensuite écrit un programme en langage Python pour calculer les premières valeurs à l'aide de leur formule.
Mots clés: arbre, arbre enraciné, dénombrement, combinatoire énumérative
Article : Nombre de chemins à New-York - Lycée Paul Guérin (Niort)
On détermine les nombres de chemins pour aller d'un point à un autre dans une grille rectangulaire puis on généralise la question à des grilles avec des segments manquants, à des grilles hexagonales, à des réseaux en trois ou plusieurs dimensions et à des grilles sur des cylindres.
Mots clés: grille, chemin, combinatoire, coefficient binomial, coefficient multinomial - Voir aussi : https://youtu.be/N8BDXJABe4E
Article : Hyperbolic tilings - Lycée Żmichowska (Varsovie)
Cet article présente la construction à l’aide de Geogebra de plusieurs pavages du disque hyperbolique à partir d’un triangle ou un quadrilatère en utilisant des inversions.
Mots clés: pavages, géométrie hyperbolique, inversion - Voir aussi : https://youtu.be/V5MFY39jSbg
Article : ENI game and probability - Lycée Żmichowska (Varsovie)
The ENI game is a generalization of a well-known guessing game with second chance. There are two players, H and S, and there is a treasure hidden by H and to be found by S in one of n>2 different locations. After a first guess of S, the correctness of the guess is not reveiled by H, who instead reveals for some other location than the guess, and other than the location where is the treasure, that the treasure is not there. After that, S can stick to his original guess, or make another guess. The question is which strategy is better, statistically speaking. The of the article; it must give a good description of the subject and also give the main resultson webpageposted this abstract will be authors first show the results of an excel simulation and of a…
Mots clés: probabilité, simulation - Voir aussi : https://youtu.be/vF1D75r7Mic
Article : La calculatrice aux touches magiques - Collège l’Estaque (Marseille)
Une calculatrice possède trois touches supplémentaires :
• La première calcule la somme des chiffres d’un nombre entier.
• La seconde calcule le produit des chiffres d’un nombre entier .
• La troisième calcule la somme des carrés des chiffres d’un nombre entier.
Que se passe-t’il si on prend un nombre entier et qu’on appuie plusieurs fois sur une de ces touches ?
Mots clés: suite de nombres entiers, arithmétique, nombres base 10, divisibilité par 9, Scratch
Article : Compter les 1 par paquets de 2 - Lycée Carnot (Paris)
Dans ce travail, on étudie une variante de la suite de Conway. La règle adoptée ici ne prend pas en compte les triplets – de sorte que “111” est transformé en “2111” et que les termes de la suite contiennent seulement les chiffres 1 et 2 –, et les “2” ne sont pas regroupés – de sorte que “22” est transformé en “1212”. La notion de “motif” est introduite, ce qui permet de construire les termes de la suite d’une manière simple. Les motifs sont également utilisés pour calculer la proportion de 1 et de 2 pour chaque terme. Pour les termes d’indice assez grand, ces pourcentages sont calculés à l’aide d’un programme en Python. Ils apparaissent se stabiliser à des valeurs proches de 60% et 40%.
Mots clés: suite de Conway, combinatoire des mots, substitution, système linéaire - Voir aussi : https://www.youtube.com/watch?v=JnrsnXOu1HA
Article : S’échapper du manège diabolique - Lycée Carnot (Paris)
Une puce se trouve sur un plateau circulaire de rayon r et s'y déplace en faisant des petits sauts de longueur inférieure ou égale à s. Entre chaque saut de puce, un robot fixé à l'extérieur du plateau peut le faire tourner en déplaçant le bord d'une longueur inférieure ou égale à t. La puce ne peut s'échapper du plateau que si elle atteint le bord en dehors des bras du robot (qui sont de longueur t). Quelles sont les positions où la puce a une stratégie permettant de s'échapper ?
Mots clés: jeu, géométrie, poursuite - Voir aussi : https://www.youtube.com/watch?v=7ExbLaAU9hc
Article : Graphes numérotés - Lycée Paul Guérin (Niort)
On considère un graphe à n arêtes. On numérote chacun des sommets avec des entiers tous différents compris entre 0 et n. Chaque arête se voit alors attribuer la différence absolue entre les numéros de ses deux sommets. Le but est de savoir s'il est possible que les arêtes soient ainsi numérotées de 1 à n.
On traite ici le cas des graphes "en ligne", "en pissenlit" et cycliques.
Mots clés: graphe - Voir aussi : https://youtu.be/DOdWHw5BvdI
Narration de recherche : Une couverture pour un petit serpent - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Explications du sujet "La couverture du petit serpent" expliqué par les élèves le samedi 27 juin
Mots clés: aire - Voir aussi : https://youtu.be/zWZqZBKlSow
Poster : Distance Légo - Lycée Val de Durance (Pertuis)
Sur une plaque Légo, on définit la distance Légo entre deux points comme le nombre de pièces, moins 1, pour couvrir le segment joignant les deux centres des points Légo. À partir de là, que deviennent les objets de la géométrie comme les cercles par exemple ?
Voir aussi : https://www.youtube.com/watch?v=qav47w1E_8k
Poster : Maths et Légo - Lycée Val de Durance (Pertuis)
Sur une plaque Lego, on dispose deux petites briques de 1x1 au hasard. Peut-on toujours les relier avec une barre Lego de largeur 1 ?
Poster : Les tours de Hanoï dans tous leurs états - Lycée Val de Durance (Pertuis)
Après avoir expliqué le fonctionnement du jeu des tours d'Hanoï, on cherche à déterminer le nombre de déplacements minimums pour n disques, pour passer d'une situation quelconque à une autre situation quelconque. Ainsi que la variante du jeu où on ne peut déplacer un disque que sur le pilier voisin.
Voir aussi : https://www.youtube.com/watch?v=AXewKGgrfvM
Poster : Collectionneur d’œufs en chocolat - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis)
Poster du groupe de Pertuis
Poster : ABRACADABRA - Lycée Val de Durance (Pertuis)
Poster du sujet "ABRACADABRA" du groupe MATh.en.JEANS de Pertuis (2019-2020)
Voir aussi : https://www.youtube.com/watch?v=ZPuKRUzn_6U
Article : Les tours de Hanoï dans tous leurs états - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Cet article en anglais étudie le nombre minimal de coups nécessaires au déplacement d’une tour de Hanoi dans le cas classique et en imposant la contrainte supplémentaire que chaque pièce ne soit déplacée que sur un pilier voisin.Les solutions sont données par une récurrence et par un algorithme en C++.
Mots clés: combinatoire, algorithmique - Voir aussi : https://www.youtube.com/watch?v=AXewKGgrfvM
Article : Constructions par pliage - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This work presents geometric constructions by folding paper. It is shown how to obtain any arbitrary positive rational length, the square root of any given length already built and finally the trisection of an angle. The structure of all numbers that are constructible by folding paper is investigated and they are put in comparison to those obtained by straightedge and compass constructions, showing that paper folding allows more possibilities.
Mots clés: pliage, nombre constructible, nombre rationnel, racine carrée, trisection de l'angle
Article : The construction of fair 5-sided dice - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Is it possible to construct a solid, with 5 faces for example, such that the probability of getting each face is the same, 1/5 in the example with 5 faces?
The problem's statement is equivalent to constructing a 5-sided fair dice. Such dice with 4 and 6 faces respectively already exist and are quite popular (for 4 faces there is the tetrahedron and for 6 faces the cube). In this article we will try to construct a 5-sided dice and from there an n-sided dice (n >= 4).
Mots clés: probabilité, , polyèdre, approche expérimentale - Voir aussi : https://www.youtube.com/watch?v=chC21iDui6E
Diaporama : Colonie de fourmis - Collège Alain Fournier (Orsay)
On dispose sur un segment un certain nombre de fourmis, orientées vers un côté ou l’autre. Le segment mesure un mètre et les fourmis se déplacent à la vitesse d’un mètre par minute. Lorsque deux fourmis se rencontrent, elles changent de sens et continuent leur route. Lorsqu’elles arrivent au bord du segment, elles tombent. Au bout de combien de temps toutes les fourmis seront-elles tombées ?
Mots clés: somme de distances, segment
Diaporama : Galerie d’art - Collège Alain Fournier (Orsay)
Comment surveiller une galerie d'art de forme polygonale avec un minimum de gardiens ?
Mots clés: polygone, convexe, triangle, optimisation
Diaporama : Ruches d’abeilles - Collège Alain Fournier (Orsay)
Analyse de différents pavages du plan, l’objectif étant de trouver des pavages du plan par des motifs polygonaux, de telle façon que ces pavages maximisent le rapport (aire du motif/périmètre du motif).
Mots clés: géométrie du plan, trigonométrie, théorème de Pythagore, polygone régulier
Diaporama : Polyominos de périmètre minimal - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un polyomino est un assemblage de carrés unité collés bord à bord. Etant donné un certain nombre de carrés n, quel est le plus petit périmètre que l'on peut obtenir en construisant des polyominos à n carrés ?
Diaporama : Théorème des 5 couleurs - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un graphe planaire est obtenu de la façon suivante : on choisit des points du plan que l'on appelle les sommets. On peut ensuite choisir de les relier des points distincts par des segments, appelés arêtes, telles qu'elles ne s'intersectent pas.
Un coloriage de graphe consiste à attribuer à chaque sommet du graphe une couleur, de façon que deux sommets reliés par une arête soient de couleurs différentes.
Étant donné un graphe planaire, est-il possible de le colorier avec cinq couleurs ?
Mots clés: graphe, arête, sommet
Diaporama : Coloriage de polyèdres - Collège Alain Fournier (Orsay)
Le sujet initial est le suivant : combien y a t il de manières de colorier un cube avec une, deux, trois, … ou six couleurs distinctes. Le diaporama répond à cette question en utilisant la représentation du cube sous forme de patron et en tenant compte des rotations qui conservent le cube. Les élèves ont ensuite étendu leur étude au cas du dodécaèdre en cherchent le nombre de coloriages du dodécaèdre avec 12 couleurs différentes.
Mots clés: polyèdre régulier, cube, dodécaèdre